1.1. Sistem Bilangan Real
Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan Sdisebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi f atau { }.
? a � S dibaca �a elemen S�, dan jika a bukan anggota himpunan S, ditulis sebagai a � S.
? Suatu himpunan dituliskan dalam huruf kapital : A, B, ..
? Cara menuliskan anggauta suatu himpunan :
didaftar, contoh A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} atau
menuliskan syarat keanggautaannya, contoh :
� Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A � B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Tidak sulit dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A, berlaku � � A.
� Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A � B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Tidak sulit dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A, berlaku � � A.
� Himpunan semua bilangan asli adalah N = {1, 2, 3,��..}, dan himpunan ini tertutup terhadap operasi (+) dan (x), artinya dan untuk setiap x, y � N � x+y � N dan xy � N. Himpunan bilangan asli bersama-sama dengan bilangan 0 dan bilangan bulat negatip membentuk sistem bilangan bulat ditulis Z.
� Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q, dengan
Q = {a/b |a � Z dan b � N}
� Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah �2 dan p.
� Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R.
1.1.1 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Untuk sebarang bilangan real a, b, c, dan d berlaku sifat-sifat
sebagai berikut:
1) Komutatif : (i) a + b = b + a ; (ii) ab = ba.
2) Assosiatif : (i) a + (b + c) = (a + b)+c = a + b + c; (ii) a(bc) = (ab) c = abc;
3) Distributif : a(b + c) = ab + ac;
4) (i) a/b = a (1/b), b � 0; (ii) (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd; (iii) (a/b) (c/d) = (ac)/(bd), dengan b � 0 , d � 0.
5) (i) a (- b) = (- a)b = - (ab); (ii) (- a)(- b) = ab; (iii) � (- a) = a.
6) (i) 0/a = 0, untuk a � 0; (ii) a/0 tidak terdefinisi; (iii) a/a = 1, untuk a � 0.
7) Hukum kanselisasi : (i) jika ac = bc dan c � 0 � a = b; (ii) jika b, c � 0 � (ac)/(bc) = a/b.
Sifat pembagi nol : jika ab = 0 � a = 0 atau b = 0
1.1.2. Relasi Urutan
� Himpunan semua bilangan real R meliputi : (i). Himpunan semua bilangan real positif (R+); (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota atau {0} ; dan (iii). Himpunan semua bilangan real negatif (R-).
� Untuk sebarang bilangan real a dan b : a < b jika b � a > 0 dan a > b jika b < a . Mudah ditunjukkan bahwa : jika a bilangan positip � a > 0 dan a bilangan negatip � a < 0
� Jika a kurang dari atau sama dengan b ditulis a � b, dan jika a lebih dari atau sama dengan b ditulis a � b.
� a < b < c mempunyai arti a < b dan b < c.
Beberapa sifat yang penting relasi urutan :
(i) jika a � b � a + c � b + c ;
(ii) jika a � b dan b � c � a � c ;
(iii) jika a � b dan c > 0 � ac � bc;
(iv) jika a � b dan c < 0 � ac � bc;
(v) jika a > 0 � 1/a > 0 dan jika 0 < a � b � 1/b � 1/a;
(vi) untuk sembarang bilangan real a dan b salah satu pasti berlaku a < b atau a = b atau a > b ;
(vii) jika a, b � 0 � a � b � a2 � b2 � �a � � b
1.1.3. Garis Bilangan
Secara geometris, sistem bilangan real Rdapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, � dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik di sebelah kiri O.
1.1.4. Pertidaksamaan
� Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya Rmaka perubahnya disebut perubah real.
� Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, �, �).
� Sebagai contoh : 1) 2x � 7 < 5x + 2 ; 2) (2x � 1)/(x + 5) > 9;
3) x2 + y2� 9 4) x2� x � 12 < 0
� Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari sejumlah bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut dan disebut penyelesaian. Sifat-sifat biangan real digunakan di sini.
� Contoh 1.1.2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan : 2x � 5 < 5x + 7.
Penyelesaian:
2x � 5 < 5x + 7 � 2x � 5 � 5x + 5 < 5x + 7 � 5x + 5
� - 3x < 12 � - 3x (- 1/3) > 12 (- 1/3)
� x > - 4
sehingga HP adalah : { x �R | x > - 4}
� Contoh 1.1.3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan : x2 � 5x + 6 > 0.
Penyelesaian: faktorkan ruas kiri pertidaksamaan di atas, dan diperoleh (x � 2)(x � 3) > 0. Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif, sehingga :
(i) jika kedua faktor positip maka x � 2 > 0 dan x � 3 > 0 � x > 2 dan x > 3, sehingga diperoleh x > 3.
(ii) jika kedua faktor negatip maka x � 2 < 0 dan x � 3 < 0 � x <2 dan x < 3, sehingga diperoleh x < 2.
Jadi HP adalah : { x � R | x < 2 atau x > 3 }
Contoh 1.1.4 Tentukan penyelesaian x3 � 2x2� x + 1 � - 1.
Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh : x3� 2x2 � x + 2 � 0 � (x � 1)(x + 1)(x � 2) � 0. Jika (x � 1)(x + 1)(x � 2) = 0, maka diperoleh : x = 1, x = -1, dan x = 2 . Jadi HP : { x � R | x � - 1 atau 1 � x � 2}, selanjutnya, perhatikan tabel berikut :
Contoh 1.1.5 Selesaikan (2x+6)/(x-2) � (x+1)
Penyelesaian : apabila kedua ruas ditambah �(x+1), diperoleh :
(2x+6)/(x-2) - (x+1) � 0 � (2x+8-x2+x+2) / (x-2) � 0 � (x2-3x+10) / (x-2) � 0 � (x-5)(x+2) / (x-2) � � 0.
Dengan demikian HP : { x � R | -2 � x < 2 atau x � 5}
1.1.5. Nilai Mutlak
� Definisi : Nilai mutlak x � R, ditulis |x|, didefinisikan sebagai |x|= � x2 atau dinyatakan sebagai :
x, x � 0
|x|=
- x, x < 0
- Beberapa Sifat Nilai Mutlak |x| :
(i) |x|� 0 dan |x|= 0 � x = 0
(ii) |xy|= |x||y| dan |x / y|= |x|/ |y|, asal y � 0
(iii) ||x|- |y||� |x + y|� |x|+ |y|
(iv) ||x|- |y||� |x - y|� |x|+ |y|
(v) Jika a � 0 , maka |x|= a � x = a atau x = - a
(vi) Jika a � 0 , maka |x| � a � - a � x � a dan |x| � a � x � - a atau x � a
1.1.6. Selang (Interval)
� Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan a < b . Berturut-turut didefinisikan :
[a, b] = { x | a � x � b} (a, b) = { x | a < x < b}
[a, b) = { x | a � x < b} (a, b] = { x | a < x � b}
[a, �) = { x | x � a} (a, �) = { x | x > a}
(�, a] = { x | x � a} (�, a) = { x | x < a}
1.2. Sistem Koordinat
1.2.1 Sistem Koordinat Cartesius Lanjutan
� Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y) . Titik mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x| .
� Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik Pterletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinattitik P.
1.2.2. Sistem Koordinat Kutub (Polar)
� Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan (x, y) , dengan xdan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-Y dan ke sumbu-X. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real (r, q) , dengan rmenyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan q adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-X positif (disebut sumbu kutub), seperti tampak gambar berikut.
1.2.2. Sistem Koordint Kutub Lanjutan
� Dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik (3, p/3) dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar p/3 radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O. Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat (3, p/3+2kp), dengan k bilangan bulat, koordinat titik P dapat juga dinyatakan sebagai (-3, 4p/3). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif karenakan titik P terletak pada bayangan sinar OP�.
� Secara umum, jika (r, q) menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat itu juga dinyatakan sebagai : (r, q + 2kp) atau (-r, q + (2k+1)p) dengan k bilangan bulat.
1.2.3. Hubungan Antara Koordinat Kartesius dan Kutub
� Suatu titik P berkoordinat (x,y) dalam sistem koordinat Cartesius dan (r, q) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik tampak pada gambar berikut :
� Hubungan itu akan diperoleh menggunakan rumus segitiga, yakni :
x = r cos q dan y = r sin q atau
r = � x2 + y2 dan q = arc sin (y/r) = arc cos (x/r)
0 komentar:
Posting Komentar